收敛数列的判断：

1. 定义法：对于数列{Xn}，如果存在常数a，对于任意给定的正数ε（无论多小），总存在正整数N，使得当n>N时，恒有|Xn a| < ε成立，则称数列收敛于a。

2. 有界性和单调性：一个数列如果单调递增（或递减）且有上界（或下界），根据单调有界原理，该数列收敛。

3. 柯西收敛准则：如果对任何ε > 0，存在N，使得当m, n > N时，|Xm Xn| < ε，那么数列收敛。

数列的收敛与发散如何判断

4. 子数列：如果一个数列的所有子列都收敛于同一个极限，那么原数列也收敛于这个极限。

5. 极限计算：直接计算数列的极限，如果极限存在且为有限值，则数列收敛。

发散数列的判断：

1. 性：如果数列无限增大或减小，没有界限，那么数列发散。

2. 发散子列：如果数列有一个子列发散，那么原数列也发散。

3. 两个不同极限的子列：如果数列有两个不同的子列分别收敛于不同的极限，那么原数列发散。

4. 反证法：假设数列收敛，然后推导出矛盾，比如利用柯西收敛准则的逆否命题来证明发散。

5. 特定数列的性质：如数列{n}（n逐项增加）发散到无穷大，而数列{1/n}收敛到0。

判别法：

直接比较法：比较数列项与另一个已知收敛或发散的数列项。

极限比较法：比较数列项与另一个数列项的极限比值。

比值判别法和根式判别法：适用于正项级数，通过比值或n次根的极限来判断。

积分判别法：将级数的项与某个函数的积分进行比较。

交错级数测试：对于交错级数，检查绝对收敛性和部分和的极限。

通过上述方法，结合数列的具体形式，可以系统地判断一个数列是收敛还是发散。记住，收敛数列的极限是唯一的，且数列必须有界；而发散数列可能是因为，或者趋向于无穷，或者在多个值之间交替，不满足收敛的条件。