高考中极值存在的必要条件与充分条件是什么

在高考数学中，极值存在的必要条件和充分条件需要结合导数的性质进行判断。以下是核心知识点及高考应用场景的

一、极值存在的必要条件

1. 导数为零

若函数 ( f(x) ) 在 ( x=x_0 ) 处可导且 ( x_0 ) 是极值点，则必有 ( f'(x_0)=0 )。

注意：导数为零的点（驻点）不一定是极值点，例如 ( f(x)=x^3 ) 在 ( x=0 ) 处导数为零，但此处不是极值点。

2. 不可导点的可能性

若函数在 ( x=x_0 ) 处不可导，但该点附近函数值达到局部最大或最小，则可能是极值点。例如 ( f(x)=|x| ) 在 ( x=0 ) 处不可导但为极小值点。

二、极值存在的充分条件

1. 第一充分条件（一阶导数变号法）

条件：函数在 ( x_0 ) 处连续，且在 ( x_0 ) 的某去心邻域内可导。

若 ( f'(x) ) 在 ( x_0 ) 左侧由正变负，右侧由负变正，则 ( x_0 ) 是极小值点；

若 ( f'(x) ) 在 ( x_0 ) 左侧由负变正，右侧由正变负，则 ( x_0 ) 是极大值点。

应用场景：适用于函数导数符号变化明显的情况，例如多项式函数或分段函数。

2. 第二充分条件（二阶导数法）

条件：函数在 ( x_0 ) 处二阶可导，且 ( f'(x_0)=0 )，( f''(x_0)

eq 0 )。

若 ( f''(x_0)>0 )，则 ( x_0 ) 是极小值点；

若 ( f''(x_0)<0 )，则 ( x_0 ) 是极大值点。

局限性：当 ( f''(x_0)=0 ) 时无法判断，需结合更高阶导数（第三充分条件）。

3. 第三充分条件（高阶导数法）

条件：函数在 ( x_0 ) 处 ( n ) 阶可导，且前 ( n-1 ) 阶导数均为零，第 ( n ) 阶导数非零。

若 ( n ) 为偶数且 ( f^{(n)}(x_0)>0 )，则 ( x_0 ) 是极小值点；

若 ( n ) 为偶数且 ( f^{(n)}(x_0)<0 )，则 ( x_0 ) 是极大值点；

若 ( n ) 为奇数，则 ( x_0 ) 不是极值点。

应用场景：高考中偶尔出现高阶导数问题，例如2018年课标Ⅲ卷理第21题（需计算三阶导数）。

三、高考典型题型的解题策略

1. 参数取值范围问题

步骤：

① 求导并令 ( f'(x_0)=0 )；

② 结合充分条件（如二阶导数符号）建立不等式求参数范围。

示例：

2023年新高考Ⅱ卷T22：通过二阶导数 ( f''(0)=-a^2+2<0 ) 求得 ( a ) 的取值范围。

2. 不可导点的极值判断

直接通过函数值的局部性判断，例如绝对值函数的最值。

3. 综合题中的极值应用

结合不等式证明与极值条件，如利用泰勒展开或导数符号分析函数单调性。

四、易错点与注意事项

1. 必要条件≠充分条件：导数为零是极值的必要条件，但需进一步验证是否为极值点。

2. 二阶导数为零的处理：需使用更高阶导数或第一充分条件进行判断。

3. 不可导点的存在性：不可导点可能是极值点，需单独分析。

通过以上条件和方法，考生可系统解决高考中极值相关的证明、参数求解及最值优化问题。具体题目训练可参考历年高考真题，如2023年新高考Ⅱ卷T22和2018年课标Ⅲ卷理T21。