高考数学中值域与参数关系的典型例题分析

在高考数学中，值域与参数关系的综合题常涉及二次函数、分式函数、根式函数等类型，需要结合参数讨论、数形结合、导数分析等方法。以下是几类典型例题及解题思路：

类型一：二次函数含参问题

例题：已知函数 ( f(x) = ax^2 + x + 3 ) 在区间 ([1, 5]) 上的值域，求参数 ( a ) 的取值范围。

解题思路：

1. 开口方向与对称轴分析：

当 ( a > 0 ) 时，开口向上，对称轴为 ( x = -frac{1}{2a} )，需判断对称轴是否在区间内：

若对称轴在区间内，最小值在顶点处，最大值在端点 ( f(1) ) 或 ( f(5) )。

若对称轴在区间外，函数在区间上单调，值域由端点决定。

当 ( a < 0 ) 时，开口向下，分析方法类似。

2. 分类讨论：

( a > 0 ) 时，计算顶点值 ( f(-frac{1}{2a}) )，并与端点值比较。

( a = 0 ) 时，退化为一次函数，直接求区间端点值。

关键点：利用二次函数图像特征，结合区间与对称轴的位置关系，分类讨论参数的符号和取值范围 。

类型二：分式函数与判别式法

例题：求函数 ( y = frac{x^2 + x + 1}{x^2 + 1} ) 的值域（含参数 ( k )）。

解题思路：

1. 分离参数法：将方程变形为关于 ( x ) 的二次方程 ( (y

1)x^2

x + (y - 1) = 0 )。

2. 判别式法：要求方程有实数解，则判别式 ( Delta = (-1)^2

4(y

1)^2 geq 0 )，解得 ( frac{1}{2} leq y leq frac{3}{2} )。

关键点：通过判别式约束参数 ( y ) 的范围，适用于分式函数或可转化为二次方程的表达式 。

类型三：根式函数与换元法

例题：求函数 ( y = x + sqrt{1

x} ) 的值域（含参数）。

解题思路：

1. 换元法：令 ( t = sqrt{1

x} )（( t geq 0 )），则 ( x = 1

t^2 )，函数转化为 ( y = 1 - t^2 + t )。

2. 二次函数求值域：转化为 ( y = -t^2 + t + 1 )，在 ( t geq 0 ) 时，顶点 ( t = frac{1}{2} ) 处取得最大值 ( frac{5}{4} )，值域为 ( (-infty, frac{5}{4}] )。

关键点：通过换元简化根式，转化为二次函数或基本函数求值域 。

类型四：含绝对值的分段函数

例题：已知函数 ( f(x) = |x

a| + |x + 1| )，求其在区间 ([-2, 2]) 上的最小值。

解题思路：

1. 几何意义法：绝对值函数表示距离之和，最小值出现在 ( x ) 介于 ( a ) 和 ( -1 ) 之间时。

2. 参数讨论：

若 ( a in [-2, 2] )，最小值为 ( |a + 1| )。

若 ( a < -2 )，最小值为 ( f(-2) = |-2

a| + 1 )。

若 ( a > 2 )，最小值为 ( f(2) = |2

a| + 3 )。

关键点：结合绝对值函数的几何意义，分类讨论参数的位置 。

类型五：导数法求含参函数极值

例题：函数 ( f(x) = x^3

3ax ) 在区间 ([-1, 1]) 上的最大值为 2，求参数 ( a )。

解题思路：

1. 求导找临界点：( f'(x) = 3x^2

3a )，临界点为 ( x = pm sqrt{a} )。

2. 分类讨论：

若 ( sqrt{a} leq 1 )，比较 ( f(-1) )、( f(1) ) 和 ( f(sqrt{a}) )。

若 ( sqrt{a} > 1 )，最大值在端点 ( x = 1 ) 或 ( x = -1 )。

关键点：结合导数分析极值点与区间的关系，确定参数取值范围 。

总结与备考建议

1. 分类讨论：参数问题需根据开口方向、对称轴位置、区间关系等分类讨论。

2. 数形结合：利用函数图像分析值域，尤其是绝对值、分式、根式函数。

3. 工具选择：灵活使用换元法、判别式法、导数法，优先选择简化计算的方法。

4. 验证边界值：确保参数讨论时考虑所有可能情况，避免遗漏极端值。

通过以上例题的练习，可掌握值域与参数问题的核心思路，提升高考数学综合解题能力。