如何通过图像法判断函数单调性高考考点突破

在高考中，函数单调性的判断是高频考点，而图像法因其直观性成为解题的重要工具。以下是结合高考真题及备考策略的突破要点：

一、图像法判断单调性的核心步骤

1. 化简函数解析式

处理绝对值、分式、根式等复杂结构，转化为分段函数或基本初等函数的组合形式。例如，对含绝对值的函数（如 ( y = |x^2

2x| )），需找到绝对值内表达式为0的分界点，分段绘制图像。

确定函数的定义域和关键点（如零点、极值点、渐近线），避免因忽略定义域导致图像错误。

2. 绘制函数草图

基本函数图像：熟练掌握一次函数（直线）、二次函数（抛物线）、指数函数（指数增长/衰减曲线）、对数函数（缓慢增长）、三角函数（周期性波动）的典型图像特征。例如，二次函数开口方向由二次项系数决定，指数函数底数决定单调性。

复合函数：根据“同增异减”原则判断单调性。例如，若内层函数与外层函数同为增函数，则复合函数单调递增，需在图像中体现这种趋势。

3. 结合图像分析单调区间

观察图像在不同区间的上升或下降趋势，标注出单调递增区间和递减区间。例如，正弦函数在 ( [0, pi] ) 先增后减，需结合周期性和对称性分析。

对于分段函数，需分别绘制各段的图像，并注意分段点的连续性。

二、高考高频题型及解题策略

1. 基础函数图像与单调性结合

题型示例：判断二次函数 ( y = -x^2 + 2x + 3 ) 的单调区间。

解题关键：开口向下，对称轴为 ( x = 1 )，故在 ( (-infty, 1) ) 单调递增，( (1, +infty) ) 单调递减。

2. 含绝对值函数的处理

题型示例：分析 ( y = |x^2

4x + 3| ) 的单调性。

解题步骤：

1. 令 ( x^2

4x + 3 = 0 )，解得 ( x = 1 ) 和 ( x = 3 )，将函数分为三段：( (-infty, 1) )、( [1, 3] )、( (3, +infty) )。

2. 分别绘制各段图像，结合原函数的绝对值符号调整图像位置。

3. 复合函数与单调性综合题

题型示例：判断 ( y = log_2(x^2

4x) ) 的单调性。

解题步骤：

1. 分解为外层函数 ( y = log_2 u ) 和内层函数 ( u = x^2

4x )。

2. 内层函数在 ( (-infty, 2) ) 单调递减，( (2, +infty) ) 单调递增；外层函数 ( log_2 u ) 在 ( u > 0 ) 时单调递增。

3. 根据“同增异减”原则，复合函数在 ( (-infty, 0) ) 单调递减，( (4, +infty) ) 单调递增。

4. 三角函数与周期性结合

题型示例：求 ( y = sin(2x + frac{pi}{3}) ) 的单调递增区间。

解题关键：

1. 画出 ( sin(2x + frac{pi}{3}) ) 的图像，周期为 ( pi )。

2. 通过求导或观察图像趋势确定单调区间，结果为 ( [-frac{5pi}{12} + kpi, frac{pi}{12} + kpi] )（( k in mathbb{Z} )）。

三、高考易错点及突破技巧

1. 忽略定义域限制

例如，对数函数 ( y = ln(x^2

1) ) 的定义域为 ( x < -1 ) 或 ( x > 1 )，需在图像中标注出定义域外的部分不可见。

2. 图像绘制不准确

技巧：用“五点法”绘制关键点（如顶点、交点），如二次函数的顶点坐标、指数函数的过定点 ( (0, 1) ) 等。

3. 复合函数单调性判断错误

口诀：“同增异减”，需先明确内层和外层函数的单调性再综合判断。

4. 分段函数处理不当

规范步骤：分段绘制图像后，需检查分段点的连续性和单调性是否一致。

四、实战演练与提分策略

1. 真题训练

参考2023年新高考全国卷真题，例如通过图像法分析函数 ( f(x) = frac{e^x

e^{-x}}{x^2} ) 的奇偶性和单调性，结合极限思想（洛必达法则）判断渐进行为。

2. 图像工具辅助

使用动态函数绘图软件（如GeoGebra）验证手绘草图的准确性，强化直观理解。

3. 时间分配与答题规范

高考中图像法常用于选择题快速排除错误选项，需在平时练习中提高画图速度和准确性。

总结：图像法突破函数单调性的核心在于 “数形结合”。掌握基本函数图像、规范作图步骤、灵活处理复合与分段函数，是高考提分的关键。建议结合真题反复练习，强化对图像趋势的直觉判断。