在高考数学中，韦达定理（根与系数的关系）与根的判别式（Δ）的联合考查是高频考点，尤其在解决与二次方程相关的综合问题时，两者常需结合使用。以下是常见的考查方式及解题策略：

一、参数范围问题

考查核心：通过根的判别式限定参数范围，结合韦达定理建立方程或不等式求解参数值。

  • 典型题型：

    • 1. 已知根的存在性条件求参数范围

    韦达定理与根的判别式在高考数学中的联合考查方式

    例如：“若方程有实数根/两个不等实根/正负根等，求参数m的取值范围。”

  • 解题步骤：

    • ① 用判别式Δ≥0（或Δ>0）确定参数初步范围；

    ② 结合韦达定理（如根的和、积的正负性）进一步缩小范围；

    ③ 验证参数是否满足隐含条件（如二次项系数≠0）。

    2. 已知根的对称关系求参数

    例如：“若方程两根满足x₁=2x₂，求参数k。”

  • 解题关键：联立x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a与题目条件，结合Δ≥0验证解的合理性。

    • 二、对称函数求值

    考查核心：利用韦达定理将根的对称表达式（如x₁²+x₂²、1/x₁+1/x₂）转化为系数表达式，结合判别式保证根的存在性。

  • 常见题型：

    • 1. 求代数式的值

    例如：“已知x₁、x₂是方程x²-3x+1=0的根，求x₁³+x₂³的值。”

  • 方法：通过恒等变形（如x₁³+x₂³=(x₁+x₂)³-3x₁x₂(x₁+x₂)），结合韦达定理代入计算。

    • 2. 求根的差或绝对值差

    例如：“求|x₁-x₂|的值。”

  • 公式：|x₁-x₂|=√(Δ)/|a|（由(x₁-x₂)²=(x₁+x₂)²-4x₁x₂推导）。

    • 三、存在性问题与构造方程

    考查核心：利用韦达定理逆定理构造方程，结合判别式判断是否存在符合条件的根。

  • 典型应用：

    • 1. 证明方程恒有实根

    例如：“证明方程(m²+1)x²-2mx+1=0恒有实根。”

  • 方法：通过判别式Δ=4m²-4(m²+1)(1)=...化简后恒非负。

    • 2. 构造满足特定条件的方程

    例如：“构造一个二次方程，使其两根为已知数的和与积。”

  • 策略：直接应用韦达定理逆定理。

    • 四、根的符号与分布问题

    考查核心：结合判别式和韦达定理分析根的正负性、区间分布。

  • 常见题型：

    • 1. 判断根的符号

    例如：“若方程x²+px+q=0的两根同号，求q的符号。”

  • 方法：由Δ≥0保证实根存在，结合x₁x₂=q>0（同号）或q<0（异号）。

    • 2. 根在特定区间内的条件

    例如：“若方程两根均大于1，求参数范围。”

  • 步骤：

    • ① Δ≥0；

    ② 对称轴位置（-b/(2a)）＞1；

    ③ f(1)＞0（函数值在x=1处正负性）。

    五、解析几何中的综合应用

    考查核心：在圆锥曲线与直线的交点问题中，联立方程后利用韦达定理简化计算，结合判别式判断交点数量。

  • 典型场景：

    • 1. 求交点横/纵坐标之和或积

    例如：“直线与抛物线交于A、B，求AB中点坐标。”

  • 方法：联立方程后直接应用x₁+x₂=-b/a，中点坐标为(-b/(2a), ...)。

    • 2. 证明定点或定值问题

    例如：“证明直线PQ恒过定点。”

  • 策略：通过韦达定理表达坐标关系，消去参数后推导定点坐标。

    • 六、易错点与注意事项

    1. 判别式优先原则：使用韦达定理前，必须验证Δ≥0（尤其是含参数问题），否则可能得到错误结论。

    2. 参数检验：求得的参数需回代验证是否导致二次项系数为0或矛盾条件。

    3. 避免增根：在构造方程或变形时，注意等价转化，避免引入不满足原始条件的解。

    示例题（高考风格）

    题目：已知关于x的方程x²-2(k-1)x+k²=0有两个实数根x₁、x₂，且满足x₁²+x₂²=4，求k的值。

    解析：

    1. 由Δ=4(k-1)²-4k²≥0 → k≤0.5；

    2. 由韦达定理，x₁+x₂=2(k-1)，x₁x₂=k²；

    3. x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=4 → [2(k-1)]²-2k²=4 → k=0或k=4；

    4. 结合k≤0.5，舍去k=4，最终k=0。

    通过以上分析可见，高考中韦达定理与判别式的联合考查注重逻辑的严密性和公式的灵活转化。掌握两者的协同应用，是解决复杂二次方程问题的关键。