1. 导数法

单变量函数：首先对函数求导得到一阶导数(f'(x))。令(f'(x) = 0)找到临界点。然后检查这些点以及区间的端点，通过二阶导数测试（(f''(x))）来判断这些点是极大值点、极小值点还是鞍点。如果(f''(x) > 0)，则(x)点对应的是极小值；如果(f''(x) < 0)，则是极大值。

2. 拉格朗日乘数法

多元函数条件极值：当函数的极值受到多个条件的限制时，使用拉格朗日乘数法。构造拉格朗日函数(L(x, y, λ) = f(x, y) + λ(g(x, y) c))，其中(g(x, y) = c)是约束条件。然后分别对(x, y, λ)求偏导数并解方程组找到极值点。

数学中的极值问题如何求解

3. 直观技巧与简化

作差法：在多元函数中，通过作差去除变量或简化表达式，然后结合约束条件求解。

连等法：当目标函数和约束条件之间存在特定关系时，构造连等式来消除变量，简化问题。

对称作差法：利用函数或约束条件的对称性来简化计算过程。

4. 边界值考虑

对于定义在闭区间上的函数，还需考虑端点值，因为极值可能出现在边界上。

5. 极坐标代换法

在特定情况下，将平面直角坐标系下的问题转换为极坐标系，可以简化问题，尤其是当函数或约束条件具有径向对称性时。

6. 定值降维法

将一个变量视为常数，先求解另一个变量下的极值，再考虑这个变量的变化，这种方法适用于某些特定形式的函数。

7. 不等式方法

在某些条件下，利用不等式（如柯西施瓦茨不等式、均值不等式等）可以直接求得函数的最值，无需直接求导。

8. 物理直观

特别是在解决实际问题时，如链子的形状问题，理解物理背景可以帮助推断极值状态，即最小能量原则。

9. 数学软件辅助

对于复杂问题，使用MATLAB、Wolfram Alpha等数学软件进行数值求解或图形化分析，也是现代数学研究和教学中常用的方法。

每种方法都有其适用场景，选择合适的方法取决于问题的具体形式和约束条件。在实际操作中，理解函数的几何意义和物理背景往往能提供解决问题的直觉。