在高考数学中，分布函数与概率密度函数的综合题常结合概率论、积分计算及实际应用场景，考查学生对概念的理解和解题技巧。以下是关键解题技巧及题型分析：

一、基础概念与关系梳理

1. 分布函数（F(x)）与概率密度函数（f(x)）的关系

  • 分布函数是概率的累积，满足非降性、右连续性及有界性，即：

    • [

    F(x) = P(X leq x) = int_{-infty}^x f(t) , dt

    ]

  • 概率密度函数是分布函数的导数，即 ( f(x) = F'(x) )（需验证F(x)可导）。

    • 2. 区分离散型与连续型变量

  • 离散型：概率函数直接求和（如骰子点数）；
  • 连续型：概率通过密度函数积分计算（如身高、温度）。

    • 二、常见题型与解题技巧

    题型1：由分布函数求密度函数或参数

    例题：已知分布函数 ( F(x) = begin{cases} 0, & x<0 ax^2, & 0 leq x <1 1, & x geq1 end{cases} )，求参数a及密度函数f(x)。

    技巧：

    1. 利用分布函数连续性：由 ( F(1^-) = F(1) ) 得 ( a cdot1^2 =1 Rightarrow a=1 )。

    2. 求导得密度函数：在区间 ( [0,1) ) 内，( f(x) = F'(x) = 2x )，其他区间为0。

    题型2：概率计算与分布函数应用

    例题：设X服从密度函数 ( f(x) = begin{cases} kx, & 0 leq x leq2 0, &

    ext{其他} end{cases} )，求 ( P(1 < X <1.5) )。

    解题步骤：

    1. 归一化求k：由 ( int_{0}^{2} kx , dx =1 Rightarrow k=0.5 )。

    2. 积分求概率：

    [

    P(1

    imes left[frac{x^2}{2}right]_{1}^{1.5} = 0.3125

    ]

    关键点：验证密度函数积分是否为1，避免参数错误。

    题型3：综合应用题（结合实际背景）

    例题：某疾病患者年龄分布密度函数为 ( f(x) )，已知该地区患病率为0.1%，求某年龄段患病概率。

    技巧：

    1. 条件概率公式：

    [

    P(

    ext{患病} |

    分布函数与概率密度函数的高考综合题解题技巧

    ext{年龄}in[40,50)) = frac{P(

    ext{年龄}in[40,50) cap

    ext{患病})}{P(

    ext{年龄}in[40,50))}

    ]

    2. 结合分布函数与样本数据：用频率近似概率，积分计算区间概率。

    三、高频易错点与规避方法

    1. 忽略分布函数的右连续性：在分段点需验证 ( F(x^+) = F(x) ) 。

    2. 混淆离散与连续型计算：如离散型直接求和，连续型必须积分。

    3. 参数求解错误：务必验证归一性（积分=1）或分布函数端点值。

    四、高考实战技巧

    1. 数形结合法：通过密度函数图像分析对称性、区间面积（概率）。

    2. 逆向思维：若直接求概率困难，可转化为分布函数差值 ( F(b)

  • F(a) ) 。

    • 3. 模板化解题步骤：

  • 确定变量类型（离散/连续）；
  • 列公式（分布函数、密度函数、积分/求和）；
  • 验证条件（归一性、连续性）；
  • 分区间讨论（分段函数需逐段处理）。

    • 五、真题训练建议

    1. 重点题型：参数求解、概率计算、实际应用题（如疾病分布、抽样检验）。

    2. 推荐练习：历年高考真题中涉及密度函数积分、分布函数性质的题目（如2022年甲卷、新高考Ⅱ卷）。

    通过以上技巧的系统训练，可显著提升此类题目的解题速度和准确率。