高考复数考点解析：复数的基本概念与表示方法

一、复数的基本概念

1. 定义

复数的一般形式为 ( z = a + bi )（( a, b in mathbb{R} )），其中：

实部：( a )；

虚部：( b )，虚数单位 ( i ) 满足 ( i^2 = -1 )。

复数集用 ( mathbb{C} ) 表示，实数集 ( mathbb{R} ) 是其子集。

2. 分类

实数：当虚部 ( b = 0 ) 时，( z = a ) 为实数；

虚数：当 ( b

eq 0 ) 时，( z = a + bi ) 为虚数；

纯虚数：当 ( a = 0 ) 且 ( b

eq 0 ) 时，( z = bi ) 为纯虚数。

3. 复数相等的充要条件

两个复数 ( z_1 = a + bi ) 和 ( z_2 = c + di ) 相等当且仅当 ( a = c ) 且 ( b = d )（实部和虚部分别相等）。

4. 共轭复数

复数 ( z = a + bi ) 的共轭复数为 ( overline{z} = a

bi )，两者实部相同，虚部互为相反数。共轭复数在化简运算和求模时起重要作用。

5. 复数的模

复数 ( z = a + bi ) 的模为 ( |z| = sqrt{a^2 + b^2} )，表示复平面上点到原点的距离。

二、复数的表示方法

1. 代数形式

最基础的表示方法为 ( z = a + bi )，常用于四则运算和方程求解。

2. 几何表示（复平面）

复数与复平面内的点一一对应：复数 ( z = a + bi ) 对应坐标为 ( (a, b) ) 的点；

实轴：横轴表示实部，虚轴表示虚部；

模的几何意义：点 ( (a, b) ) 到原点的距离，即 ( |z| = sqrt{a^2 + b^2} )；

复数加减法的几何意义：对应向量的平移。

3. 三角形式（选学拓展）

复数可表示为 ( z = r(cos

heta + isin

heta) )，其中 ( r = |z| )，(

heta ) 为辐角（与实轴的夹角）。此形式在乘除和幂运算中更便捷。

三、高考高频考点与易错点

1. 高频考点

复数的四则运算：加减乘除的代数运算，需注意 ( i^2 = -1 ) 的替换；

复数的模与共轭：计算模长 ( |z| )，利用共轭复数化简表达式；

几何意义：复数对应的点所在象限、轨迹问题（如 ( |z

z_0| = r ) 表示以 ( z_0 ) 为圆心、半径 ( r ) 的圆）。

2. 易错提醒

纯虚数的条件：实部必须为0且虚部非零，忽略任一条件均会导致错误；

虚数不能比较大小：如 ( 3i ) 和 ( 5i ) 无法比较大小；

复数相等的充要条件：实部和虚部必须同时相等，不能仅比较模。

四、高考命题特点与备考建议

命题特点：复数题通常以选择题或填空题出现，难度较低，重点考查基础运算和概念理解。

备考建议：

1. 熟记公式（如 ( (1 pm i)^2 = pm 2i )）和运算技巧；

2. 强化几何意义的理解，结合数形结合解题；

3. 通过真题训练熟悉题型，注意细节（如纯虚数的条件）。

总结：复数的核心是掌握代数形式与几何意义的关联，熟练运用四则运算和模的计算，同时注意易错点。高考中此类题目属于“必得分题”，需确保基础扎实，避免无谓失分。