一、纯虚数的判定条件

纯虚数的定义是：形如 ( z = bi ) 的复数，其中 ( b in mathbb{R} ) 且 ( b

eq 0 )。其判定条件为：

1. 实部为0：复数的实部 ( a = 0 )；

2. 虚部不为0：复数的虚部 ( b

eq 0 )。

数学表达式：

复数 ( z = a + bi ) 是纯虚数当且仅当 ( a = 0 ) 且 ( b

eq 0 ) 。

常见误区：

  • 零向量：若复数的实部和虚部均为0（即 ( z = 0 )），则它是实数，而非纯虚数。
  • 共轭复数的差：若两个共轭复数的虚部相等，则它们的差可能为0，此时也不是纯虚数 。

    • 二、典型例题与解析

    例题1：直接判断纯虚数

    题目：判断下列复数是否为纯虚数：

    （1）( 3i )；（2）( 5 + 0i )；（3）( 0 + 0i )。

    解析：

  • （1）( 3i = 0 + 3i )，实部为0，虚部为3（非零），是纯虚数；
  • （2）( 5 + 0i = 5 )，虚部为0，是实数；
  • （3）( 0 + 0i = 0 )，实部和虚部均为0，是实数 。

    • 例题2：根据条件求解参数

    题目：若复数 ( z = (a^2

  • 1) + (a + 1)i ) 是纯虚数，求实数 ( a ) 的值。

    • 解析：

    1. 实部条件：( a^2

  • 1 = 0 )，解得 ( a = 1 ) 或 ( a = -1 )；

    • 2. 虚部条件：( a + 1

    eq 0 )，即 ( a

    eq -1 )；

    3. 结论：( a = 1 ) 。

    例题3：复数的乘积为纯虚数

    题目：若复数 ( (10

  • 130i)(k + i) ) 是纯虚数，求实数 ( k )。

    • 解析：

    1. 展开乘积：

    [

    (10

  • 130i)(k + i) = 10k + 10i
  • 130ki - 130i^2 = (10k + 130) + (10 - 130k)i

    • ]

    2. 实部为0：( 10k + 130 = 0 )，解得 ( k = -13 )；

    3. 验证虚部：代入 ( k = -13 )，虚部为 ( 10

  • 130(-13)

    • eq 0 )，满足条件 。

    例题4：方程中的纯虚数判定

    题目：已知复数 ( (x + i)^2 ) 是纯虚数，求实数 ( x )。

    解析：

    高考复数试题中纯虚数的判定条件及典型例题

    1. 展开平方：( (x + i)^2 = x^2

  • 1 + 2xi )；

    • 2. 实部为0：( x^2

  • 1 = 0 )，解得 ( x = pm 1 )；

    • 3. 虚部非零：无论 ( x = 1 ) 或 ( x = -1 )，虚部均为 ( 2x

    eq 0 )，故解为 ( x = pm 1 ) 。

    三、解题技巧与注意事项

    1. 代数形式转化：将复数写成标准形式 ( a + bi )，明确分离实部和虚部。

    2. 参数条件联立：若涉及参数，需同时满足实部为0和虚部非零的方程组。

    3. 避免常见错误：

  • 忽略虚部非零的条件（如例题2中若 ( a = -1 )，虚部为0，不满足纯虚数）。
  • 混淆纯虚数与一般虚数（虚数只需虚部非零，而纯虚数还要求实部为0）。

    • 通过以上例题和解析，可以系统掌握纯虚数的判定方法及其在高考中的典型应用。建议结合更多习题强化条件联立的计算能力。