高考概率压轴题中的马尔可夫链创新题型解法

在高考概率压轴题中，马尔可夫链相关题型因其与递推数列、全概率公式的深度结合，成为近年来的热点和难点。以下从核心特征、解题步骤、常见题型及应对策略三个角度，系统分析此类创新题型的解法：

一、马尔可夫链的核心特征与模型基础

1. 无记忆性：未来状态仅依赖于当前状态，与历史无关。例如，传球问题中第( n+1 )次传球的结果仅由第( n )次的状态决定。

2. 状态转移概率：状态间的转移规律由概率矩阵或递推式描述。例如，赌徒模型中递推式 ( P(n) = frac{1}{2}P(n-1) + frac{1}{2}P(n+1) ) 的建立。

3. 终止条件：存在吸收壁（如输光或达成目标）或稳态分布。例如，赌徒问题中 ( P(0)=1 )（输光）和 ( P(B)=0 )（赢到目标）的边界条件。

二、解题步骤与核心方法

1. 定义状态变量，明确递推关系

单变量递推：设第( n )次状态的概率为 ( P(n) )，根据全概率公式建立递推式。

示例：在传球问题中，若第( n )次传球后球在甲手中的概率为 ( a_n )，则 ( a_{n+1} = frac{2}{3}(1

a_n) )（因甲需通过其他两人传回）。

多维状态联立：复杂问题需引入多个状态变量（如甲、乙、丙三人持球概率），通过联立方程组求解。例如，三人传球问题需设 ( a_n, b_n, c_n ) 并建立关系式。

2. 构造等比数列或等差数列

线性递推转化：通过变形将递推式转化为等比数列。例如，在赌徒问题中通过等差数列 ( P(n) = 1

frac{n}{B} ) 直接求解。

特征方程法：对高阶递推式（如 ( a_{n+1} = k a_n + b )），通过构造特征方程求通项。

3. 边界条件与数学期望计算

边界条件应用：利用吸收壁或初始条件确定通项中的常数。例如，赌徒问题中 ( P(0)=1 ) 和 ( P(B)=0 ) 确定等差数列的公差。

期望递推：若涉及随机变量 ( X_n )（如投篮次数），通过递推关系求期望。例如，投篮问题中 ( E(X_n) = sum_{k=1}^n P_k )，其中 ( P_k ) 为第( k )次甲投篮的概率。

三、常见创新题型与应对策略

1. 传球模型

核心：多人传球后的状态转移，如甲、乙、丙三人传球问题。

解法：设第( n )次持球概率 ( a_n )，利用全概率公式建立 ( a_{n+1} = frac{2}{3}(1

a_n) )，转化为等比数列求通项。

2. 多维随机游走

核心：质点在一维/二维空间的移动，如醉汉问题或广场灯柱随机游走。

解法：一维问题通过递推式+等差数列；二维问题通过坐标投影统计规律（如 ( R = Lsqrt{n} )）。

3. 药物试验与赌徒模型

核心：累积得分或资金变化的概率分析，如甲、乙药物疗效对比问题。

解法：设累计得分概率 ( P(n) )，通过吸收壁边界条件建立递推式，转化为等比数列。

4. 摸球交换问题

核心：多个盒子交换球后的状态概率，如甲、乙盒中红球数量的动态变化。

解法：引入多个状态变量（如恰有1个红球的概率 ( p_n ) ），通过全概率公式联立递推。

四、应对策略与备考建议

1. 拆解问题本质：将复杂情境抽象为状态转移模型，明确“当前状态→下一状态”的转移概率。

2. 强化递推思维：熟练运用全概率公式建立递推式，掌握等比/等差数列构造技巧。

3. 模拟真题训练：重点练习2023年新高考Ⅰ卷投篮问题、2019全国Ⅰ卷药物试验题等经典题型，熟悉命题逻辑。

4. 拓展多维问题：针对多元马尔可夫链（如三人传球），通过联立方程和矩阵思想突破复杂递推。

五、典型例题解析（以2023新高考Ⅰ卷投篮问题为例）

题目：甲、乙轮流投篮，命中继续，未命中换人。甲命中率0.6，乙命中率0.8，求第( n )次甲投篮的概率。

1. 递推式建立：设第( n )次甲投篮的概率为 ( a_n )，则

[

a_{n+1} = 0.6a_n + 0.2(1

a_n)

]

2. 等比数列转化：化简得 ( a_{n+1}

0.4 = 0.4(a_n

0.4) )，通项为 ( a_n = 0.4 + 0.1 cdot (0.4)^{n-1} ) 。

通过系统训练以上模型和方法，考生可有效应对马尔可夫链类创新题，提升概率压轴题的解题能力。